Comment résoudre un système d’équations linéaires?

La résolution d’un système d’équations linéaires consiste à trouver les valeurs des variables qui satisfont toutes les équations simultanément. Il existe plusieurs méthodes pour résoudre un système d’équations linéaires, mais voici les étapes générales à suivre :

1. Écrire les équations du système sous forme matricielle :

Soit le système d’équations linéaires suivant :

a1x + b1y + c1z = d1.

a2x + b2y + c2z = d2.

a3x + b3y + c3z = d3.

On peut l’écrire sous forme matricielle :

[ a1 b1 c1 ] [ x ] [ d1 ].

[ a2 b2 c2 ] [ y ] = [ d2 ].

[ a3 b3 c3 ] [ z ] [ d3 ].

2. Effectuer des opérations élémentaires sur les lignes de la matrice pour la mettre sous forme échelonnée réduite :

  • Échanger deux lignes.
  • Multiplier une ligne par un scalaire non nul.
  • Ajouter un multiple d’une ligne à une autre ligne.

L’objectif est de transformer la matrice en une forme où les éléments en dessous de la diagonale sont tous nuls.

3. Résoudre le système en utilisant la méthode de substitution ou la méthode d’élimination de Gauss-Jordan :

– Méthode de substitution :

On résout une variable en fonction des autres dans une des équations, puis on remplace cette expression dans les autres équations jusqu’à obtenir une équation à une seule variable. On répète cette opération pour toutes les variables.

– Méthode d’élimination de Gauss-Jordan :

On utilise les opérations élémentaires sur les lignes pour transformer la matrice en une forme échelonnée réduite. On peut ensuite remonter les lignes pour résoudre le système en utilisant la méthode de substitution.

4. Vérifier la solution en remplaçant les valeurs trouvées dans les équations initiales.

Si le système n’a pas de solution unique, il peut être inconsistant (aucune solution) ou avoir une infinité de solutions. Dans ce cas, il est important de vérifier si les équations sont linéairement dépendantes ou indépendantes.

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